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微積分簡史

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前牛頓、萊布尼茲時期

Johannes Kepler (1571 - 1630)

凱卜勒 (Kepler),1571年12月27日生於施塔特的魏爾,1630年11月15日卒於雷根斯堡。

德國天文學家、物理學家、數學家。

在數學領域方面,他是微積分早期的先驅者之一。在《酒桶新立體幾何》(1615)中引入無窮大和無窮小概念,指出:「圓是由無數個頂點在圓心的三角形構成的,圓周是由這些三角形的無窮小的底邊構成」,並用同樣道理闡明了立體構成說,討論了 90 多種各類體積問題。

阿基米德及阿波洛尼爾斯之後,西歐進入了一段漫長的黑暗時期,整個數學的發展一直要到16世紀才有翻身之日。這時在求積的問題上產生了一套在邏輯上雖然基礎薄弱,但是計算上卻強而有力的“無窮小方法”。“無窮小方法”的代表性人物是公元 1600 年左右的凱卜勒 (Kepler) 及蓋瓦里爾 (Cavalieri) 。凱卜勒和蓋瓦里爾計算面積或體積的方法都是將給定的幾何圖形分成無窮多個無窮小的圖形,再用特定的方法加起來。蓋瓦里爾得到了相當於後來微積分中的公式,不過他的辦法只能求到 n=9 。

差不多同時代,笛卡爾 (Descartes) 及費瑪發明了解析幾何,從此數學中兩個研究對象“形”與“數“統一起來,並在數學中引入“變量”的觀念,這是一項畫時代的變革,同時也是微積分所需要的最重要的一塊基石。費瑪利用橫座標的分割,將蓋瓦里爾的方法予以具體化,這已與我們在現在的微積分課本中所看到的完全一樣了。

這時候科學已日趨進步,除了求積的問題外,數學家還考慮一些其他的問題,其中最重要的有:運動的速度和距離的關係以及曲線的切線問題。逐漸的,人們開始明瞭這兩個問題事實上是同一個問題,而更意外的是,它們與求積的問題居然有很密切的關係。

最早在運動的問題上做出貢獻的是 14 世紀法國的奧里梅 (Oresme),他用一種很原始的座標方法得到了等加速度的問題的速度與距離關係公式,其實已經是“微積分基本定理”的雛形了,他的工作對於後世的伽利略 (Galilei) 及笛卡爾都有深刻的影響。

切線問題雖然誕生較晚,不過它卻是一個較為容易解決的問題,1635 年之後,一些求切線的方法迅速的被摸索出來了。笛卡爾的方法是利用重根法先找曲線的法線,從而得到切線。他的想法比較曲折,屬於代數的性質而沒有用到極限的觀念。費瑪求切線的方法就比較直接而與現在的導數方法相差無幾了。他考慮曲線上極靠近的兩點,利用相似三角形的性質得到切線與橫軸的交點。他假設所選的兩點距離 e非常小,因此計算時,有時就將之看成是零而任意丟掉,但有時又把它當作除數來使用;這種對於無窮小的曖昧行為,在當時是頗具爭議的,但是卻能夠得到正確的結果。當然,在極限及導數有了嚴格的定義的今天再去看費瑪的工作,一切已是昭然若揭了。托里切利 (Torricelli) 及羅伯瓦( Roberval )則將曲線看成是質點的運動,而切線是動點的瞬間運動方向,這種將切線與瞬間速度等同的看法,是日後牛頓流算數的先聲。牛頓的老師巴羅 (Barrow) 則將費瑪的方法更推進一步,他將曲線上一點 P之切線視為割線 PQ 當 Q 沿著曲線接近 P 的極限位置。他的著作“幾何講稿”中所討論的都是切線及求積的問題,同時他對於這兩者之間的互逆性也有明顯的陳述,可惜的是他本人並沒有認識它的重要性。他的工作則由他的學生牛頓來發揚光大。

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