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微積分簡史

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古希臘時代

Eudoxus (B.C. 384 - 322)

尤多瑟士 (Eudoxus),公元前 384 年生於斯塔基爾 (Stageira),公元前 322 年卒於雅典。

對機械學 (力學)、物理學、數學、邏輯學、氣象學、植物學、心理學、動物學、倫理學、文學、形而上學與經濟學等,均有涉獵。

大家都知道「積分」的源頭是來自於面積的計算。西元前 430 年左右,希臘的希波克拉特 (Hippocrates) 證明了兩個圓的面積比等於其直徑的平方比。他所用的方法是用相似的多邊形內接於兩圓中,然後不斷的增加邊數以窮盡圓的面積而導出。差不多同時的安蒂豐(Antiphon)將這樣的方法叫著『窮盡法』並用它來解決有名的「化圓為方」的問題,他的結論雖然是錯誤的,但是作為近代數學基石的『極限』觀念及『積分』就已經孕育了。

然而,希臘人是盡可能避免使用類似『無窮小』或是 n→∞這樣的模糊觀念。為了要證明或是解釋圓面積與內接 n邊形面積之間的差距,在 n足夠大的時候,能夠隨心所欲的小,西元前400左右的尤多瑟士(Eudoxus)提出了下面的命題:

兩個不等的給定量,若從大者減去超過其半的一個量,再從餘量中 減去超過其半的一個量,這種程序繼續不斷下去,到某階段餘量會小於原給兩量中之小者。

他利用這個原理嚴謹的證明了:兩圓面積之比等於其半徑平方之比;圓椎體的體積為同底同高的圓柱體體積的 1/3 等的幾何定理。尤多瑟士以此明確的公理為依據進行演繹推理,大大的推廣了『窮盡法』的應用。值得注意的是,後來柯西(Cauchy)及魏而士查士(Weierstrass)所奠定的現代極限觀念與尤多瑟士的想法是多麼的接近;這個在古希臘時代就播種下的種子,西方的數學家們是花了將近兩千年的時間才使之開花結果。

但是真正將『窮盡法』用得出神入化的則是阿基米德。公元前 250 年左右的阿基米德,不僅是古代世界中最偉大的數學家,他還與 17 世紀的牛頓(Newton)及19 世紀的高斯(Gauss)並列為古往今來最偉大的三個數學家。他計算了很多面積和體積,比如他巧妙的利用一種別出心裁的無窮分割,證明了“拋物線和一直線所圍的弓行面積是其同底同高的三角形面積的 4/3 倍”。他以手頭上有的那一點數學工具,而能得到很大的成就,將永遠是數學史上一個偉大的里程碑。

最後,我們提一下阿波洛尼爾斯 (Apollonius)。他寫了一部巨著《圓錐曲線論》,幾乎將圓錐曲線的性質網羅殆盡。這部巨著對於17世紀的數學家產生了深遠的影響,費瑪(Fermat)就於1637年受到啟發而發現了「解析幾何」,為「微積分」的發展做了奠的工作。

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